Algebra: Einführung in die Galoistheorie (de Gruyter by Gernot Stroth

By Gernot Stroth

Dieses Lehrbuchbietet eine Einfuhrung in die grundlegenden Methoden der Galoistheorie. Am Beispiel der Auflosbarkeit von Polynomgleichungen durch Radikale wird das Zusammenwirken dreier Theorien - Gruppentheorie, Korpertheorie und Ringtheorie - zur Losung dieses difficulties demonstriert. Behandelt werden neben den ublichen Grundbegriffen wie Gruppen, Korper und Ringe sowie den Resultaten der Galoistheorie auch Anwendungen auf Konstruktionen mit Zirkel und Lineal, endliche Korper und Kreisteilungskorper sowieAuflosungsformeln der Gleichungen vom Grad hochstens four. Daruber hinaus wird der konkreten Berechenbarkeit und den Algorithmen zur Bestimmung irreduzibler Teiler von Polynomen bzw. der Galoisgruppe eines moderaten Polynoms ein breiter Raum gewidmet.

Die vorliegende zweite Auflage enthalt Erweiterungen zu den Themen rein inseparable Korpererweiterungen, p-adische Zahlen und Bewertungstheorie, angeordnete Korper undSatz von Sturm.

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Da m < 0 ist, ist N(u) ≥ 0 für alle u ∈ R−19 . Wir wollen (2) nachprüfen. Seien x, y ∈ R−19 , y kein Teiler von x und N(x) ≥ N(y). Gesucht sind u, v ∈ Rm mit xu − yv ≠ 0 und N(xu − yv) < N(y) bzw. N((x/y)u − v) < 1. √ Es ist x/y ∈ M , also ist x/y = (a + b −19)/c mit geeigneten a, b, c ∈ Z und ggT(a, b, c) = 1. Da x/y ∈ R−19 ist, folgt c > 1. Sei c = 2. Da x/y ∈ R−19 ist, folgt nun, dass a und b entgegengesetzte Parität haben. Wir setzen u = 1 und v = ((a − 1) + b −19)/2 ∈ R−19 . Dann ist x 1 u−v = y 2 und 0

Es ist offenbar 1 = ggT(2, x), aber xR + 2R ≠ R, da 2 keine Einheit in Z ist. Also gibt es keine h, t ∈ Z[x] mit 1 = 2h + xt . Wir haben nun zwar, dass Z[x] ein ZPE-Ring ist, allerdings wissen wir nicht, wie man einem Polynom aus Z[x] ansieht, ob es irreduzibel ist. Dies ist auch durchaus ein nichttriviales Problem. Man beachte, dass es ja auch schon in Z nicht ganz einfach ist festzustellen, ob eine gegebene Zahl eine Primzahl ist. Wir wollen jetzt ein Irreduzibilitätskriterium angeben, das häufig sehr effektiv ist.

GgT(x 3 − 2, bx 2 + ax − 2) = f ≠ 1. Es ist dann f ein Teiler von x 3 − bx 2 − ax = (x 2 − bx − a)x . Also ist f ein Teiler von x 2 − bx − a und bx 2 − b2 x − ab. Damit teilt f auch (bx 2 + ax − 2) − (bx 2 − b2 x − ab) = (a + b 2 )x + (ab − 2) = g. 38 Körpererweiterungen √ √ Somit ist 3 2 eine Nullstelle von g . Da a, b ∈ Q sind, folgt 3 2 ∈ Q, ein Widerspruch. Dies zeigt √ 3 [Q( 2) : Q] = 3. √ √ (4) Dass nicht allgemein [Q( n t) : Q] = n für n t ∈ Q gilt, zeigt folgendes Beispiel. √ Wir betrachten u = 3 1 ∈ Q, also u = e2π i/3 .

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